Question

помогите доказать, пожалуйста, sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1)<5 при a+b+c=1 a,b,c>0

sqrt - квадратный корень 

Answer 1

Наверное, проще всего, так:

Известно, что sqrt(ab)<=(a+b)/2.

Отсюда следует

sqrt(4a+1)=sqrt(1*(4a+1))<=(1+4a+1)/2=1+2a

sqrt(4b+1)<=(1+2b)

sqrt(4c+1)<=(1+2c)

 

Вот и всё, потому что дальше преобразования для 1 класса

 

(сумма корней)<=3+2(a+b+c)=3+2*1=5.

 

Больше нечего сказать.

Да, откуда первое неравенство(среднее геометрическое не больше среднего арифметического). Доказательств масса. Вот простенькое

 

(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0  Это понятно, кваодрат всегда неотрицателен.

а - 2*sqrt(ab) + b >=0   Это формула из букваря.

(a+b)/2 >= sqrt(ab)      Просто перенесены слагаемые из угла в угол, НО это и есть наша формула.

 

Вот теперь всё.