Question

В треугольнике ABC  сторона AB=16 , AC=64 , точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .

Answer 1

Проведем из вершины $B,C$ отрезки $BE;EC$ , где точка $E$ пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра $BD$ с   $AO$ $G$. 
Получим  четырехугольник $ABCE$ , который вписан  в окружность. 
По теореме Птолемея $64*BE+16*EC=AE*BC$, так как   $AE$     лежит  на центре    , то треугольники  $ABE;ACE$ прямоугольные. 
$AE=sqrt{64^2+EC^2}\ BC=sqrt{16^2+BE^2}$ . 
Откуда  при подстановке получаем соотношение 
$BE*EC=1024$. 
Так как $sqrt{16^2+BE^2}=sqrt{64^2+(frac{1024}{BE})^2}\\ BE=64\\ EC=16$
Четырехугольник прямоугольник. 
Заметим что $BG$ - высота прямоугольного треугольника 
$ABE$ , тогда 
$BG=frac{16*64}{sqrt{16^2+64^2}}=frac{64}{sqrt{17}}$.
Откуда по Теореме Пифагора 
 $BG^2+AG^2=16^2\ AG=sqrt{16^2-frac{64^2}{17}}=frac{16}{sqrt{17}}$ , так как  $AG$ является высотой  прямоугольного  треугольника  $BAD$ , то 
 $AG=frac{16AD}{sqrt{16^2+AD^2}}\\ frac{16}{sqrt{17}}=frac{16AD}{sqrt{256+AD^2}}\\ sqrt{256+AD^2}=sqrt{17}AD\\ 256+AD^2=17AD^2\\ 16AD^2=256\\ AD=4$ 
 тогда $CD=64-4=60$