Предмет: Геометрия, автор: dok344

В треугольнике ABC  сторона AB=16 , AC=64 , точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .

Ответы

Автор ответа: Матов
0
Проведем из вершины  B,C отрезки BE;EC , где точка E пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра BD с   AO G
Получим  четырехугольник ABCE , который вписан  в окружность. 
По теореме Птолемея 64*BE+16*EC=AE*BC , так как   AE     лежит  на центре    , то треугольники  ABE;ACE прямоугольные. 
AE=sqrt{64^2+EC^2}\ BC=sqrt{16^2+BE^2}
Откуда  при подстановке получаем соотношение 
 BE*EC=1024
Так как sqrt{16^2+BE^2}=sqrt{64^2+(frac{1024}{BE})^2}\\ BE=64\\ EC=16
Четырехугольник прямоугольник. 
Заметим что BG - высота прямоугольного треугольника 
ABE , тогда 
BG=frac{16*64}{sqrt{16^2+64^2}}=frac{64}{sqrt{17}} .
Откуда по Теореме Пифагора 
 BG^2+AG^2=16^2\ AG=sqrt{16^2-frac{64^2}{17}}=frac{16}{sqrt{17}}\ , так как  AG является высотой  прямоугольного  треугольника  BAD , то 
 AG=frac{16AD}{sqrt{16^2+AD^2}}\\ frac{16}{sqrt{17}}=frac{16AD}{sqrt{256+AD^2}}\\ sqrt{256+AD^2}=sqrt{17}AD\\ 256+AD^2=17AD^2\\ 16AD^2=256\\ AD=4  
 тогда CD=64-4=60
  
Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: kkoroleva567