Question

Определите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе f(x) = x2

Answer 1

Абсциссы точек касания  $x_1,x_2$  .    
Угловые коэфф. касательных   $k_1=y'(x_1),; k_2=y'(x_2)$

Уравнение касательной:  $y=y(x_1)+y'(x_1)(x-x_1)$

$y=x^2,; ; y(x_1)=x_1^2\\y'=2x,y'(x_1)=2x_1\\Yravn.kasat.; ; y=x_1^2+2x_1(x-x_1)$

Теперь подставим координаты точки, через которую проходит касательная, (0,-2) , в уравнение касательной вместо переменных:

$-2=x_1^2+2x_1(0-x_1)\\-2=x_1^2-2x_1^2,; ; x_1^2=2,; x_1=sqrt2,\\x_2=-sqrt2$

В принципе мы имеем обе точки касания:  $A(sqrt2,2),; B(-sqrt2,2)$

Подставим значения абсцисс в уравнение касательной.

$a); ; y=2+2sqrt2(x-sqrt2); to ; y=2+2sqrt2x-4,\\y=2sqrt2x-2; to k_1=2sqrt2\\b); ; y=2-2sqrt2(x+sqrt2),to ; y=-2sqrt2x-2; to k_2=-2sqrt2$

Угол между прямыми можно найти по формуле 

$tg alpha =|frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|\\tg alpha =|frac{2sqrt2-(-2sqrt2)}{1+2sqrt2(-2sqrt2)}|=|frac{4sqrt2}{1-8}|=frac{4sqrt2}{7}\\ alpha =arctgfrac{4sqrt2}{7}$