Question

Помогите решить задачу по стереометрии. Источник: Куланин 3000 конкурсных задач, № 11.5.6 Вершины куба с ребром 1 являются центрами шара одинакового радиуса. Объем части куба, расположенной вне шаров, равен ½. Какая часть ребра куба лежит вне шаров?

Answer 1

У каждого из 8 шаров (сколько вершин у куба, столько шаров) внутри куба лежит 1/8 часть объема, остальное - снаружи. Поэтому сумма объемов частей шаров внутри куба равна объему одного шара, то есть

$4 pi R^{3}/3$

Объем части куба вне шаров 1/2, значит и объем внутри шаров 1/2.

$4 pi R^{3}/3 =1/2; R = sqrt[3]{3/8 pi} = (sqrt[3]{3/ pi})/2$

Часть ребра вне шара равна

$1 - 2R = 1-sqrt[3]{3/pi}$

 

(R приблизительно равен 0,492372510921348, а искомая часть ребра приблизительно равна 0,0152549781573035;

R меньше 1/2, то есть шары не пересекаются, что оправдывает предыдущий расчет - если бы шары пересекались, при сложении объемов общие части учитывались бы дважды. То есть если бы получилось R > 1/2, то решение было неверное).