Question

В выпуклом четырёхугольнике NPQM  диагональ NQ  является биссектрисой угла PNM  и пересекается с диагональю PM  в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM  можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .

Answer 1

 Рассмотрим треугольник $PNM$.
 Так как  сторона  $NS$ - общая , то $PNS=NSM$. 
 Тогда  $PS=SM$ , так как  $NQ$ биссектриса. 
 По свойству хорд получаем  $22*NS=PS*MS$  
$22*NS=MS^2$ 
 Воспользуемся теоремой  Птолемея , получим       
  $(PS+22)(2MS)=MQ*PN+NM*44$ так как треугольники  $PNQ;MNQ$       равны, то $MQ=PN\\ (PS+22)*2MS=88NM\ 22NS=MS^2\ NP=NM$ 
 откуда получаем  
   $(PS+MS)(22+frac{PS*MS}{22})=88*frac{(PS+MS)MS}{PS} \ PS*MS=1936-484=1452\ NS=frac{1452}{22}=66$