Question

(∛(2+√5))+(∛(2-√5))=?

 

Answer 1

$sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}}$

 

Возведем в куб:

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

______________________________________________________________

$(sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}})^3=$

 

$=4+3sqrt[3]{(2+sqrt{5})(2-sqrt{5})}(sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}})=$

 

$=<var>4+3sqrt[3]{-1}(sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}})=4-3(sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}})</var>$

 

Для простоты вычислений проведем замену:

$sqrt[3]{2+sqrt{5}}=a$

 

$sqrt[3]{2-sqrt{5}}=b$

 

(a+b)³=4-3(a+b)

 Сделаем еще одну замену: a+b=x

Получим следующее уравнение:

x³+3x-4 = 0

Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Один из корней легко угадывается x=1

Далее можно просто произвести деление столбиком и найти оставшийся многочлен:

x³+3x-4 = (x-1)(x²+x+4)

x²+x+4 = 0

корней на действительном поле не имеет. 

В итоге значение выражения равно 1.