Question

помогите пожалуйста решить 2 задания с полным пояснением

Answer 1

sinx>=0

2sinx*sin(П/6-x)=sqrt(3)/2

cos(2x-п/6)-cos(п/6)=sqrt(3)/2

cos(2x-п/6)=sqrt(3)>1 нет решений

sinx<0

cos(2x-п/6)=0

2x-п/6=п/2(2k+1)

x=П/12+П/4(2k+1)

sin^4(x+П/4)=(1-cos(П/2+x))^2/4=(1+sinx)^2/4

sin^4x=(1-cosx)^2/4

(1-cosx)^2+(1+sinx)^2=1

1-2cosx+cos^2x+1+2sinx+sin^2x=1

2-2cosx+2sinx=0

1-cosx+sinx=0

sin^2x/2+sinx/2cosx/2=0

sinx/2(sinx/2+cosx/2)=0

x/2=Пk x=2пk

tgx/2=-1

x=-П/2+2Пk

 

Answer 2

1) sin⁴x + sin⁴ (x + π/4) = 1/4

Для преобразований используем формулу  для косинуса двойного угла 

sin²х = (1 - cos 2x)/2

тогда

sin⁴х = (1 - cos 2x)²/4

Для преобразований используем формулу синуса суммы углов

sin (x + π/4) = sin x · cos π/4 + cos x ·sin π/4 = 1/√2 · (sin x + cos x)

sin² (x + π/4) = 1/2 ·(sin x + cos x)² = 1/2 ·(sin² x + 2sin x · cos x + cos² x) =

= 1/2 ·(1 + sin 2x)

sin⁴ (x + π/4) = [1/2 ·(1 + sin 2x)]² = 1/4 ·(1 + sin 2x)²

После преобразований получим такое уравнение:

(1 - cos 2x)²/4 + 1/4 ·(1 + sin 2x)² = 1/4

или

(1 - cos 2x)² + (1 + sin 2x)² = 1

раскроем скобки

1 - 2cos 2x + cos² 2x + 1 + 2sin 2x + sin²2x = 1

преобразуем

1 - 2cos 2x +1 + 1 + 2sin 2x = 1

2 - 2cos 2x + 2sin 2x = 0

1 - cos 2x + sin 2x = 0

2sin²x + 2sin x · cos x = 0

2sin x (sin x + cos x) = 0

sin x₁ = 0

x₁ = πn

sin x + cos x = 0

cos x ≠ 0

tg x₂ + 1 = 0

tg x₂ = -1

x₂ = -π/4 +πn

наимень ший положительный корень х = 3π/4

 

2)4 /sin x/ · sin(π/6 - x) = √3

   2 /sin x/ · sin(π/6 - x) = √3/2

a)  sin x≥ 0

2 sin x · sin(π/6 - x) = √3/2

Воспользуемся формулой для произведения синусов:

sin x · sin(π/6 - x)= 1/2 [cos(x - π/6 + x) - cos(x + π/6 - x)] =

= 1/2 [cos(2x - π/6) - cos π/6] = 1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2]

подставим полученное в уравнение

2·1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2] = √3/2

cos(2x - π/6) - √3/2 = √3/2

cos(2x - π/6) = √3

косинус не может быть больше 1, поэтому при sin x≥ 0 уравнение решений не имеет.

б)  sin x ≤ 0

-2 sin x · sin(π/6 - x) = √3/2

Воспользуемся полученной выше формулой для произведения синусов:

sin x · sin(π/6 - x) =  1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2]

подставим в уравнение

-2·1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2] = √3/2

-cos(2x - π/6) + √3/2 = √3/2

cos(2x - π/6) = 0

2x - π/6 = π/2 + πn

2x = π/2 + πn + π/6

2x = 2π/3 + πn

x = π/3 + πn/2

наименьший положительный корень х = π/3