В треугольнике ABC длины сторон CB, CA и AB соответственно равны 4,3 и 2. Найти отношения в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины B).
Ответы
Пусть дан треугольник АВС, у которого АВ=2см, ВС=4см, АС=3см. Проведем биссектрисы AF, BK, CE, которые пересекаются в точке О. По свойству биссетрисы треугольника : биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.
Рассмотрим биссетрису ВК, применяя описанное свойство, имеем:
АК:КС=АВ:ВС
АК:КС=2:4=1:2
Значит сторона АС состоит из 1+2=3 равных части. А так как АС=3 см, то одна часть составляет 1см, то АК=1 см, КС=2см.
Рассмотрим треугольник ВСК, в нем СО - биссетриса.Используя тоже свойство, получим:
ВО:КО=ВС:СК
ВО:КО=4:2=2:1
Значит точка О делит биссектрису, проведенную из точки В в отношении 2:1
Нисколько не посягая на приоритет Лоры, я вот что сделаю -
обозначу a = CB = 4; b = AC = 3; c = AB = 2; (Угол В лежит напротив стороны b.)
Точка О - точка пересечения биссектрис. ВМ - биссектриса угла В, М лежит на АС.
Сторона b делится на отрезки, отношение которых
АМ/МС= c/a, а их сумма АМ + МС = b.
Легко увидеть, что эти отрезки имеют длины СМ = b*a/(a+c) и АМ = b*c/(a+c);
Биссектриса угла В делится биссектрисой угла А в отношении BO/OM = AB/AM; считая от вершины В.
ВО/ОМ = c/(b*c/(a+c)) = (a+c)/b;
это очень полезная формула. В условиях задачи ВО/ОМ = (4 + 2)/3 = 2;