Question

Помогите, пожалуйста, решить задание:

Найдите общее решение и частное, удовлетворяющее начальным условиям решение дифференциального уравнения первого порядка:

1)    y^,=y^3*x,       у = 1  при  х = 1;

2)    y^,-(3*y)/x=x^3*e^x,  y0=e, x0=1

 

 

 

Answer 1

1) y' = y³x

 $frac{dy}{dx} = frac{y^3}{x}$

Проинтегрируем обе части:

 $frac{dy}{y^3}=xdx$

$-frac{1}{2y^2}=frac{x^2}{2}+C$ - общее решение дифф. уравнения.

Из начального условия y(1)=1 найдем частное решение:

Подставив в общее решение, найдем С

-1/2 = 1/2 + С ⇔ С = -1/4

$y = frac{4}{1-2x^2}$ - частное решение дифф. уравнения.

 

2) $y' - frac{3y}{x}=x^3e^x$

Для начала найдем общее решение однородного дифф. уравнения

$y' - frac{3y}{x}=0$

$frac{dy}{dx} = frac{3y}{x}$

$frac{dy}{y}=frac{3dx}{x}$

Проинтегрировав, получим:

ln|y|=3ln|x| + lnC

y = Cx³ - общее решение однородного дифф. уравнения

y = C(x)x³ подставим в наше дифф. уравнение

$C'(x)x^3 + 3x^2C(x) - 3C(x)x^2 = x^3e^x$

$C'(x)=e^x$

$C(x) = int{e^x}, dx = e^x + C_1$

$y = (e^x + C_1)x^3$ - общее решение дифф. уравнения

Из начального условия y(1) = e найдем C₁

C₁ = 0

$y = e^xx^3$ - частное решение дифф. уравнения