Question

А) Докажите, что если натуральное число А представимо вы виде суммы двух квадратов, то 2А также представимо в таком виде.

Б) Докажите обратное утверждение.

Answer 1

Пусть А=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N

тогда 2A=2(n^2+m^2)=2n^2+2m^2=2m^2+2n^2+-2mn+2mn=

=(m^2-2mn+n^2)+(m^2+2mn+n^2)=(m-n)^2+(m+n)^2

 

Обратно:

2A=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N

тогда

A=(n^2+m^2)/2=(n^2+m^2)/2+mn/2-mn/2=(n^2/4-mn/2+m^2/4)+(m^2/4+mn/2+n^2/4)=(m/2-n/2)^2+(m/2+n/2)^2

 

(заметим, что из равенства 2A=n^2+m^2 следует, что правая часть делится на 2, что в свою очередь означает, что числа m и n одинаковой четности, поэтому числа m/2-n/2=(m-n)/2 и m/2+n/2=(m+n)/2 целые неотрицательные)