Question

Найдите точку максимума функции:

$y = -frac{2}{3}xsqrt{x} + 3x + 1$

Пожалуйста, с подробнейшим решением.

Answer 1

Находим производную

y'=-2/3*3/2sqrt(x)+3=-sqrt(x)+3

находим критическую точку приравняв к нулю произодную

y'=0

x=9

проверяем что точка является точкой максимума, для чего находим вторую производную

y''=-1/2sqrt(x)<0

она меньше нуля поэтому в точке имеется максимум.

y(9)-max=-2/3*27+27+1=10

Answer 2

Для исследования функции сначала нужно взять производную. Чтобы проще было взять воспользуемся формулой сложения степеней: $a^xa^y=a^{x+y}$

Получим что: $xsqrt{x}=xx^{frac{1}{2}}=x^{frac{3}{2}}$ 

Теперь перепишем функцию:

$y=-frac{2}{3}x^{frac{3}{2}}+3x+1$ 

И берем производную:

$y'=-frac{2}{3}frac{3}{2}x^{frac{1}{2}}+3=3-sqrt{x}$

Дальше найдем точку где производная обращается в 0.

Для этого решаем уравнение:  $3-sqrt{x}=0, sqrt{x}=3, x=9$

Это будет точка экстремума. Но точка экстремума может быть как минимумом так и максимумом. Надо показать что это максимум. Как это делается. Есть 2 метода.
1 метод:

Рассмотрим как ведет себя производная при x<9 и при x>9.  Очевидно, что при x>9 производная  $3-sqrt{x}>0$. Значит функция растет. При x>9, наоборот  $3-sqrt{x}<0[/tex</var>]. Значит функция убывает. Если до точки х=9 функция растет, а после нее убывает, то получается что это максимум функции</var></p> <p> </p> <p>2 метод:</p> <p>Возьмем вторую производную от исходной функции получим [tex]y''=-frac{1}{2sqrt{x}}$. Для любых положительных х, вторая производная будет меньше нуля, т.е y''<0. Это необходимое и достаточное условие, чтобы функция была выпуклой вверх. Т.к. функция выпулкая вверх, то точка экстремума будет точкой максимума. ч.т.д

 

Ответ: точка максимума x=9, значение функции в этой точке y(9)=10