Question

 помогите пожалуйста вычислить криволинейный интеграл x(cos ydx-sin ydy), где l отрезок прямой, соединяющей начальную точку О(0,0) с конечной В(1;п/4)

Answer 1

Находим уравнение прямой:

Так как проходит через начало координат, то ищем в виде:

у = кх

Подставив координаты В:

п/4 = к

Итак уравнение прямой: у = пх/4.

Будем вычислять криволинейный интеграл (хотя в данном случае он - прямолинейный))) )исходя из того, что параметром будет х:

тогда :dy = y'dx = (п/4)dx

Получим:

I=$intlimits^1_0 {x(cosax} , dx-asinaxdx)=intlimits^1_0 {xcosax} , dx-intlimits^1_0 {axsinax} , dx$

Здесь я обозначил:

а = П/4

Далее используя интегрирование по частям:

I=$frac{1}{a}intlimits^1_0 {x} , dsinax+intlimits^1_0 {x} , dcosax=frac{1}{a}xsinax|_0^1-frac{1}{a}intlimits^1_0 {sinax} , dx+$

$+xcosax|_0^1-intlimits^1_0 {cosax} , dx=frac{1}{a}xsinax|_0^1+frac{1}{a^2}cosax|_0^1+xcosax|_0^1-$

-$-frac{1}{a}sinax|_0^1=frac{4sqrt{2}}{2pi}+frac{16}{pi^2}{(frac{sqrt{2}}{2}-1)+frac{sqrt{2}}{2}-frac{4sqrt{2}}{2pi}=frac{sqrt{2}}{2}(frac{16}{pi^2}+1)-frac{16}{pi^2}.$