Question

Найти числа А,В, при которых справедливо равенство: 3x/(x^2+x-2)=(A/(x-1))+(B/(x+2)) В ответе запишите А*В

Answer 1

Разложим знаменатель левой части данного уравнения, являющийся квадратным трехчленом $x^{2}+x-2$, на целые множители:

  Из теоремы Виета найдем корни $x_{1}$ и $x_{2}$ нашего трехчлена:

    $x_{1}+x_{2}=-b/a=-1/1=-1$

   $x_{1}*x_{2}=c/a=-2/1=-2$ 

Отсюда подбором найдем искомые $x_{1}</var>=-2$,  <img src=[/tex]x_{2}=1" title="x_{1}=-2" title="x_{2}=1" title="x_{1}=-2" alt="x_{2}=1" title="x_{1}=-2" />,  $x_{1}</var>=-2$,  $<var>x_{2}=1$ 

где $a" title="<var>x_{2}=1" /> </var></p> <p>где [tex]a" alt="<var>x_{2}=1" /> </var></p> <p>где [tex]a" />, [tex]b$ и $c$ - соотвественно коэффициент при неизвестной во второй степени, коэффициент при неизвестной первой степени и свободный член; $a=1$, $b=1$, $c=-2$ 

Тогда трехчлен примет вид:

    $x^{2} x-2</var>=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x 2)(x-1)$ --------(1)</p> <p>Подставим в исходное уравнение вместо <img src=[/tex]x^{2}+x-2" title="x^{2}+x-2=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2)(x-1)" title="x^{2}+x-2" title="x^{2}+x-2=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2)(x-1)" alt="x^{2}+x-2" title="x^{2}+x-2=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2)(x-1)" /> --------(1)

Подставим в исходное уравнение вместо $x^{2}+x-2</var>=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2)(x-1)$ --------(1)

Подставим в исходное уравнение вместо $<var>x^{2} x-2$ правую часть равенства (1) и приведем к общему знаменателю правую часть исходного уравнения:

   $frac{3x}{(x+2)(x-1)}=frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x+2)(x-1)}$, отсюда получим равносильное уравнение на ОДЗ:

     $3x=(A+B)x+(2A-B)$-----(2)

Применим к (2) метод неопределенных коэффициентов, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными $A$ и $B" title="<var>x^{2}+x-2" /> правую часть равенства (1) и приведем к общему знаменателю правую часть исходного уравнения:</var></p> <p>   [tex]frac{3x}{(x+2)(x-1)}=frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x+2)(x-1)}$, отсюда получим равносильное уравнение на ОДЗ:

     $3x=(A+B)x+(2A-B)$-----(2)

Применим к (2) метод неопределенных коэффициентов, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными $A$ и $B" alt="<var>x^{2}+x-2" /> правую часть равенства (1) и приведем к общему знаменателю правую часть исходного уравнения:</var></p> <p>   [tex]frac{3x}{(x+2)(x-1)}=frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x+2)(x-1)}$, отсюда получим равносильное уравнение на ОДЗ:

     $3x=(A+B)x+(2A-B)$-----(2)

Применим к (2) метод неопределенных коэффициентов, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными $A$ и $B" />:</p> <p>     [tex]left { {{A+B=3,} atop {2A-B=0;}} right.$------(3)

Систему (3) решим методом сложения-сложим почленно первое и второе уравнения системы (3):

    $A+B+2A-B=3+0$, отсюда $3A=3$, отсюда $A=1$  

 

Из второго уравнения системы (3) выразим $B$ через $A$:  

              $B=2A=2*1=2$ 

Тогда искомое произведение $AB$ будет равно:

      $AB=1*2=2$