Question

Дано комплексное число z = 3/2 - sqrt(3)/2*i 1) найти z + z(с чертой над z) , z * z(с чертой над z), z/z(с чертой над z). 2) Записать z в тригонометрической форме, вычислить z^4, и корень квадратный в 4й степени z

Answer 1

Дано комплексное число $z$ в алгебраической форм:

   $i^{2}=-1$  по определению

Тогда $<var>z</var>^{*}$ комплексно-сопряженное числу комплексному числу $<var>z$--------(1)

   где $i^{2}=-1$  по определению

Тогда $<var>z</var>^{*}$ комплексно-сопряженное числу комплексному числу $z</var>=frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$--------(1)

   где $i^{2}=-1$  по определению

Тогда $<var>z</var>^{*}$ комплексно-сопряженное числу комплексному числу $<var>z$:

          $z</var>^{*}=frac{3}{2} frac{sqrt{3}}{2}i$:

          $<var>z$:

          $z</var>^{*}=frac{3}{2} frac{sqrt{3}}{2}i$-------(2)

 ( $<var>z</var>^{*}$ то же что у вас z с чертой!) 

а)  

   $<var>z</var><var>+z</var>^{*}=frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i+frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i=$

     $=frac{3}{2}+frac{3}{2}=3$ 

   

$<var>z</var><var>z</var>^{*}=(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)=$

    $<var>=[frac{3}{2}]^{2}-[frac{sqrt{3}}{2}]^{2}*i^{2}=frac{9}{4}+frac{3}{4}=3$-------(2)

 ( $<var>z</var>^{*}$ то же что у вас z с чертой!) 

а)  

   $<var>z</var><var>+z</var>^{*}=frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i+frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i=$

     $=frac{3}{2}+frac{3}{2}=3$ 

   

$<var>z</var><var>z</var>^{*}=(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)=$

    $z</var>^{*}=frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$-------(2)

 ( $<var>z</var>^{*}$ то же что у вас z с чертой!) 

а)  

   $<var>z</var><var>+z</var>^{*}=frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i+frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i=$

     $=frac{3}{2}+frac{3}{2}=3$ 

   

$<var>z</var><var>z</var>^{*}=(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)=$

    $<var>=[frac{3}{2}]^{2}-[frac{sqrt{3}}{2}]^{2}*i^{2}=frac{9}{4} frac{3}{4}=3$ 

 

 $frac{z}{z^{*}}=frac{(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}{(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}=frac{3-sqrt{3}i}{3+sqrt{3}i}=frac{(3-sqrt{3}i)^{2}}{(3+sqrt{3}i)(3-sqrt{3}i)}=frac{9-6sqrt{3}i+3i^{2}}{9-3i^{2}}=frac{6-6sqrt{3}i}{12}=$

  $=frac{6}{12}-frac{6sqrt{3}}{12}i=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$ 

 

б)  Запишем наше комплексное число $z$ в тригонометрической форме:

   $z=r(cosphi+isinphi)$--------(1)

где $r$ модуль комплексного числа $z$   

В нашем случае 

$r</var>=sqrt{(frac{3}{2})^{2} (frac{sqrt{3}}{2})^{2}}=sqrt{frac{9}{4} frac{3}{4}}=sqrt{3}$ 

 

 $frac{z}{z^{*}}=frac{(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}{(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}=frac{3-sqrt{3}i}{3+sqrt{3}i}=frac{(3-sqrt{3}i)^{2}}{(3+sqrt{3}i)(3-sqrt{3}i)}=frac{9-6sqrt{3}i+3i^{2}}{9-3i^{2}}=frac{6-6sqrt{3}i}{12}=$

  $=frac{6}{12}-frac{6sqrt{3}}{12}i=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$ 

 

б)  Запишем наше комплексное число $z$ в тригонометрической форме:

   $z=r(cosphi+isinphi)$--------(1)

где $r$ модуль комплексного числа $z$   

В нашем случае 

$<var>=[frac{3}{2}]^{2}-[frac{sqrt{3}}{2}]^{2}*i^{2}=frac{9}{4}+frac{3}{4}=3$ 

 

 $frac{z}{z^{*}}=frac{(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}{(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}=frac{3-sqrt{3}i}{3+sqrt{3}i}=frac{(3-sqrt{3}i)^{2}}{(3+sqrt{3}i)(3-sqrt{3}i)}=frac{9-6sqrt{3}i+3i^{2}}{9-3i^{2}}=frac{6-6sqrt{3}i}{12}=$

  $=frac{6}{12}-frac{6sqrt{3}}{12}i=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$ 

 

б)  Запишем наше комплексное число $z$ в тригонометрической форме:

   $z=r(cosphi+isinphi)$--------(1)

где $r$ модуль комплексного числа $z$   

В нашем случае 

$r</var>=sqrt{(frac{3}{2})^{2} (frac{sqrt{3}}{2})^{2}}=sqrt{frac{9}{4} frac{3}{4}}=sqrt{3}$---------(2) 

Итак, число $<var>z$---------(2) 

Итак, число $r</var>=sqrt{(frac{3}{2})^{2}+(frac{sqrt{3}}{2})^{2}}=sqrt{frac{9}{4}+frac{3}{4}}=sqrt{3}$---------(2) 

Итак, число $<var>z$ в тригонометрической форме с учетом (1) и (2):

      $z</var>=sqrt{3}(<var>cosphi i*sinphi</var>)$ в тригонометрической форме с учетом (1) и (2):

      $<var>z$ в тригонометрической форме с учетом (1) и (2):

      $z</var>=sqrt{3}(<var>cosphi i*sinphi</var>)$

Для нахождения четвертой степени числа $<var>z$

Для нахождения четвертой степени числа $z</var>=sqrt{3}(<var>cosphi+i*sinphi</var>)$

Для нахождения четвертой степени числа $<var>z$ применим формулу Муавра при $n=4" title="<var>z" /> применим формулу Муавра при [tex]n=4" alt="<var>z" /> применим формулу Муавра при [tex]n=4" />:</var></var></p> <p>  [tex]<var>z</var>^{4}=(sqrt{3})^{4}(cos4phi+i*sin4phi)=9(cos4phi+i*sin4phi)($ 

 

Известно, что корень n-й степени из комплексного значения имеет n различных значений. В нашем случае нужно найти корень 2-й степени, а значит корень 2-й принимает два различных значения.

 $sqrt{z^{4}}=sqrt{9}(cosfrac{4phi+2kpi}{2}+i*sinfrac{4phi+2kpi}{2})$

 при $k=0; 1$

 

$sqrt{z^{4}}=sqrt{9}(cos2phi+i*sin2phi)$ при $k=0$

$sqrt{z^{4}}=sqrt{9}(cos3phi+i*sin3phi)$ при $k=1$