Question

Помогите, пожалуйста решить…

 найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |6/x-3|=ax-1на промежутке (0;+∞) имеет более двух корней.

Answer 1

Из свойства модуля действительного числа имеем:

 $ax-1geq0$, отсюда $axgeq1$ ------(1)

Так как мы ищем решения нашего уравнения при $x>0$, тогда (1) примет вид   $ageq0$ -----(2)

Раскроем знак модуля:

а) Если  $frac{6}{x}-3<0$---------(1а) 

 то $|frac{6}{x}-3|=-(frac{6}{x}-3)=3-frac{6}{x}$ -------(2а)

При этом решением неравенства (1а) является объединение числовых промежутков:

         $(-infty; 0)cup(2;+infty)$ 

Исходное уравнение с учетом (2а) примет вид:

     $3-frac{6}{x}=ax-1$, отсюда получим квадратное уравнение относительно $x$

         $ax^2-4x+6=0$ -------(*)

Чтобы уравнение (*) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный: 

      $D=16-24ageq0$, отсюда

          $aleqfrac{2}{3}$ ---------(3а)

 

б) Если  $frac{6}{x}-3<var>geq</var>0$---------(1б)

то модуль  $|frac{6}{x}-3|=frac{6}{x}-3$---------(2б)  

 

При этом решением неравенства (1б) является числовой полуинтервал:

    $(0; 2]$ 

  Исходное уравнение с учетом (2б) примет вид:  

   $frac{6}{x}-3=ax-1$, отсюда получим квадратное уравнение

     $ax^2+2x-6=0$ -------(**)

 

Чтобы уравнение (**) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный:  $D=4+24ageq0$, отсюда

       $a<var>geq-</var>frac{1}{6}$ ---------(3а) 

 Но вначале мы показали, что параметр $a</var>>0$</p> <p>  А это значит, что квадратное уравнение (**) при всех положительных значениях параметра уравнение имеет два корня.</p> <p>Но так как мы ищем решения на промежутке <img src=[/tex](0;+infty)" title="a>0" title="(0;+infty)" title="a>0" alt="(0;+infty)" title="a>0" />

  А это значит, что квадратное уравнение (**) при всех положительных значениях параметра уравнение имеет два корня.

Но так как мы ищем решения на промежутке $a</var>>0$

  А это значит, что квадратное уравнение (**) при всех положительных значениях параметра уравнение имеет два корня.

Но так как мы ищем решения на промежутке $<var>(0; infty)$, то исходное уравнение будет иметь 3 или 4 корня, если значения параметра $a$ будут удовлетворять двойному неравенству:

                  $0<aleqfrac{2}{3}" title="<var>(0;+infty)" />, то исходное уравнение будет иметь 3 или 4 корня, если значения параметра [tex]a$ будут удовлетворять двойному неравенству:

                  $0<aleqfrac{2}{3}" alt="<var>(0;+infty)" />, то исходное уравнение будет иметь 3 или 4 корня, если значения параметра [tex]a$ будут удовлетворять двойному неравенству:

                  [tex]0<aleqfrac{2}{3}" />