Question

ранг матрицы в зависимости от параметра -1 2 1 -1 а 0 а 2 1

Answer 1

$left[begin{array}{ccc}-1&2&1\-1&a&0\a&2&1end{array}right]=left[begin{array}{ccc}-1&2&1\-1&a&0\a+1&0&0end{array}right]$ 

Это из третьей строки вычли первую строку. Дальше вычтем из 1 строки вторую, получим матрицу вида

$left[begin{array}{ccc}0&2-a&1\-1&a&0\a+1&0&0end{array}right]$

 

Матрица получилась нижнетреугольная. Ранг матрицы равено количеству линейнонезависимых строк или столбцов в матрице.

Рассмотрим при каких а в матрице появляются нулевые строки

1. а+1=0, а=-1, в этом случаем третья строка зануляется и можно занулить второй столбец. Вычеркиваем нулевую строку и столбец, получаем диагональную матрицу размером 2х2. Количество линейнонезависимых строк=2 значит Rg(A)=2

2. a=0. Получается матрица вида

 

$left[begin{array}{ccc}0&2&1\-1&0&0\1&0&0end{array}right]$  Видно, что вторая и третья строки линейно зависимы (2 получается из третьей домножением на -1). Действуя так же как и в случае 1, получаем матрицу 2х2 с линейнонезависимыми строками, значит Rg(A)=2

 

Во всех остальных случаев ранг матрицы получается равен Rg(A)=3.

Т.к при любых других значениях  а матрица имеет диагональный вид. Значит количество линейнонезависимых векторов будет равно 3.

 

Ответ: a=-1 и a=0 Rg(A)=2 , $aneq1$  и ф$aneq0$ Rg(A)=3