Question

вычислить интеграл ((квадратный кореньиз х)+1))dx / корень шестой степени из х в 7ой +корень шестой степенииз х в 5ой

Answer 1

$I=int{frac{sqrt{x}+1}{sqrt[6]{x^7}+sqrt[6]{x^5}}, dx = int{frac{6t^5(t^3+1)}{t^7+t^5}}, dt;$

Здесь мы сделали замену переменной:

$t=sqrt[6]{x}.$

Тогда x = t⁶,  dx = 6t⁵dt

Продолжаем искать интеграл с новой переменной и сократив на t⁵, приходим к виду:

$I=int{frac{6(t^3+1)}{t^2+1}}, dt=6int{frac{t^3}{t^2+1}}, dt+6int{frac{1}{t^2+1}}}, dt=3int{frac{z}{z+1}}, dz+6arctgt;$

Где z = t²

$I=3int{frac{(z+1)-1}{z+1}}, dz+6arctgt=3z-3ln|z+1|+6arctgt+C;$

Возвращаемся к переменной х и получаем ответ:

$I=3sqrt[3]{x}-3ln|sqrt[3]{x}+1|+6arctgsqrt[6]{x}+C.$