Question

Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (√3- 1)/2.

Answer 1

В треуг.АВС проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота,биссектриса и медиана,делит треуг.АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС

В треуг.АВК  АВ=1 - гипотенуза

АК=1:2=0,5 - катет

ВК2=АВ2-АК2 - катет

ВК=корень из 1*1-0,5*0,5=0,87

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(р-а)(р-b)(p-c)/p

r=ab/(a+b+c)

r=(a+b-c)/2

r=(0,5+0,87-1)/2

r=0,185

2r=0,185*2=0,37

(корень из 3 - 1)/2= 0,37

0,37=0,37

Ответ:сумма радиусов не меньше,чем 0,37