Question

прямоугольный треугольник abc расположен так,что его гипотенуза ab лежит в плоскости P,а катеты образуют плоскостью P углы альфа и бета.Найти угол между плоскостью треугольника и плоскостью P

Answer 1

Расстояние от вершины прямого угла до плоскости Р равно a*sin(альфа) и оно же равно b*sin(бета). a и b - катеты треугольника, с - гипотенуза. Поэтому a*sin(альфа) = b*sin(бета).

b = a*sin(бета)/sin(альфа); c = а*корень(1 + (sin(бета)/sin(альфа))^2);

высота треугольника равна

h = a*b/c = a*sin(альфа)/корень((sin(альфа))^2 + (sin(бета))^2);

Отношение расстояния от вершины прямого угла до плоскости Р к этой высоте равно синусу искомого угла между плоскостью Р и плоскостью треугольника. (То, что высота и её проекция на Р являются сторонами линейного угла, следует из того, что гипотенуза препендикулярна плоскости этих двух прямый -  высоте по построению, а проекции - поскольку в их плососи есть еще одна прямая, пепендикулярная гипоенузе - это перпендикуляр из вершины пямого угла на Р)

Осталось все собрать.

sin(Ф) = корень((sin(альфа))^2 + (sin(бета))^2);

Легко видеть, что если плоскость треугольника перпендикулярна плоскости Р, то альфа и бета - углы треугольника, и sin(Ф) = 1.