Question

Два моля идеального одноатомного  газа сначала изобарно  нагрели, а затем изохорно охладили до первоначальной температуры как показано на рис. 1. Какое количество теплоты сообщено газу при нагревании? Начальная температура газа Т=400 К, давление газа при охлаждении уменьшилось в три раза.

Answer 1

Дано: $T_{1}=400$ K

          $P_{1}=P_{2}$

          $P_{1}=3P_{3}$   

          $nu=2$ моль 

 Какое количество теплоты $Q$ сообщено газу при нагревании?

 

Решение. Газ получает количество теплоты $Q$ на участке 12, т.к. при этом газ совершает работу $A$ над внешними телами а его внутренняя энергия увеличивается на величину $Delta U$. Воспользуемся первым началом термодинамики:

   

        $Q=A+Delta U$-------(1)

Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то ее изменение на участке 12 равно:

      $Delta U=frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})$-------(2)

 

При этом работа газа равна:

            $A=P_{1}*(V_{2}-V_{1})$-------(3)

Из уравнения состояния идеального газа при изобарном процессе следует:

      $P_{1}*(V_{2}-V_{1})=nu*R*(T_{2}-T_{1})$-----(4) 

Подставим в равенство (3) вместо его правой части правую часть уравнения (4), получим:

            $A=</var><var>nu*R*(T_{2}-T_{1})$--------(5)   

Подставим в (1) вместо $A$ и $Delta U$ соотвественно правые части выражений (5) и (2), получим:

        $Q=<var>nu*R*(T_{2}-T_{1})</var>+</var><var>frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})$, приведя подобные в правой части последнего равенства, получим

         $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})$------(6)

 

Процесс 12 подчиняется закону Гей-Люссака, поэтому

$frac{T_{2}}{V_{2}}=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var>$, отсюда выразим $T_{2}$ 

      $T_{2}=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}$------(7)</p> <p> </p> <p>     Подставим в (6) вместо <img src=[/tex]T_{2}" title="T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}" title="T_{2}" title="T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}" alt="T_{2}" title="T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}" />------(7)

 

     Подставим в (6) вместо $T_{2}=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}$------(7)

 

     Подставим в (6) вместо $<var>T_{2}$ выражение (7), получим:

         $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*(<var><var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}-T_{1})$, или

       

            $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*T_{1}(<var><var>frac{<var>V_{2}</var>}{V_{1}}</var></var>-1)$-----(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        $frac{P_{2}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{3}}</var>$-------(9) 

но по условию $T_{3}=</var>T_{1}$ выражение (7), получим:

         $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*(<var><var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}-T_{1})$, или

       

            $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*T_{1}(<var><var>frac{<var>V_{2}</var>}{V_{1}}</var></var>-1)$-----(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        $frac{P_{2}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{3}}</var>$-------(9) 

но по условию $<var>T_{2}$ выражение (7), получим:

         $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*(<var><var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}-T_{1})$, или

       

            $Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*T_{1}(<var><var>frac{<var>V_{2}</var>}{V_{1}}</var></var>-1)$-----(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        $frac{P_{2}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{3}}</var>$-------(9) 

но по условию $T_{3}=</var>T_{1}$, $<var>P_{2}=P_{1]$, $T_{3}=</var>T_{1}$, $<var>P_{2}=P_{1]$, $P_{1}=3P_{3}$   Тогда (9) примет вид:

       $frac{3P_{3}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{1}}</var>$, отсюда

       

            $T_{2}=<var>3T_{1}</var>$---------(10)

Подставим в (7) вместо $T_{2}$ выражение (10), получим 

      $<var><var>3T_{1}</var></var>=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}$, $P_{1}=3P_{3}$   Тогда (9) примет вид:

       $frac{3P_{3}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{1}}</var>$, отсюда

       

            $T_{2}=<var>3T_{1}</var>$---------(10)

Подставим в (7) вместо $T_{2}$ выражение (10), получим 

      $<var>P_{2}=P_{1]$, $P_{1}=3P_{3}$   Тогда (9) примет вид:

       $frac{3P_{3}}{T_{2}}=<var>frac{P_{3}}{T_{1}}</var>$, отсюда

       

            $T_{2}=<var>3T_{1}</var>$---------(10)

Подставим в (7) вместо $T_{2}$ выражение (10), получим 

      $<var><var>3T_{1}</var></var>=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}$, отсюда

         $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}=3$--------(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}$ ее значение (выражение (11)), получим

         $<var>Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}$, отсюда

         $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}=3$--------(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}$ ее значение (выражение (11)), получим

         $<var><var>3T_{1}</var></var>=<var>frac{T_{1}}{V_{1}}</var></var>*V_{2}$, отсюда

         $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}=3$--------(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби $frac{V_{2}}{<var><var>V_{1}</var></var>}$ ее значение (выражение (11)), получим

         $<var>Q=</var><var>frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}" /></var></p> <p>Расчет:</p> <p>            [tex]Q</var><var>=5*nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256$ Дж