Question

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды

Answer 1

По условию AB=BD=BC=12 условных единиц длины
∠ABD=∠DBC=∠CBA=90°

Рассмотрим ΔABD. Он равнобедренный т.к. AB=BD.
Найдем сторону основания AD по теореме Пифагора
AD²=AB²+BD² ⇒ AD=√(12²+12²=√2*144=12√2 условных единиц длины.
ΔADC - равносторонний, так как ΔABD=ΔDBC=ΔABC
Площадь равностороннего треугольника
$S= frac{ a^{2} sqrt{3} }{4}= frac{288* sqrt{3} }{4}=72 sqrt{3}$ условных единиц площади
Проведем из точки B на сторону AD высоту в точку M (она же медиана и биссектриса).  
∠ABM=∠BAM=∠ADB=∠DBM=45° 
MB=AM=0,5AD=6√2 условных единиц длины
В основании в равностороннем треугольники проведем из его вершин высоты (они же медианы, биссектрисы).
Рассмотрим Δ MOD (∠MDO=30° , так как все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, а биссектриса проведенная из вершины делит угол пополам): $Tg30= frac{MO}{MD}$ ⇒ MO=MD*Tg30°=$6 sqrt{2} * frac{ sqrt{3} }{3} =2sqrt{6}$ условных единиц длины
BO²=MB²-MO² ⇒ BO=√(72-24)=4√3 условных единиц длины
Объем пирамиды равен
$V= frac{S*h}{3}= frac{72* sqrt{3}*4 sqrt{3}}{3}=288$ условных единиц объема