Question

1 ) Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии если а1 = 2 и а2 = 5                                                                                        2) найти пятый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии если b1 = 27 и q = [ tex ] frac { 1 } { 3} [/ tex ]                                                                                 3) найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 28 14, 7 , ....;                             4 ) найдите номер члена арифметической прогрессии равный 7,3 zroj a1 = 10,3 и d = 0,5 ;    5 ) между числами 2,5 и 20 вставьте два таких числа чтобы они вместе с данными составили числам , образовывали геометрическую прогрессию                                          6 ) найдите сумму всех натуральных чисел превышающих 100 и меньших 200 , которые кратны 6

Answer 1

1) Разность арифметической прогрессии: $d=a_2-a_1=5-2=3$. Тогда по формуле n-го члена арифметической прогрессии, найдем четырнадцатый член:

$a_{14}=a_1+13d=2+13cdot3=41$

2) Пятый член: $b_5=b_1q^4=27cdotfrac{1}{3^4}=frac{1}{3}$

Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии:

$S_4=dfrac{b_1(1-q^4)}{1-q}=dfrac{27(1-frac{1}{3^5})}{1-frac{1}{3}}=dfrac{121}{3}$

3) Знаменатель прогрессии: $q=dfrac{b_2}{b_1}=dfrac{14}{28}=0.5$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=dfrac{b_1}{1-q}=dfrac{28}{1-0.5}=56$

4) Здесь в условии опечатка, скорее всего d=-0.5, а если так как есть то задача решения не имеет.

$a_n=a_1+(n-1)d\ 7.3=10.3-0.5(n-1)~~|cdot 10\ 73=103-5(n-1)\ \ 5(n-1)=103-73\ 5(n-1)=30\ n-1=6\ n=7$

Ответ: 7

5) $2.5;~ x;~ y;~ 20$ - геометрическая прогрессии

$b_4=b_1q^3~~Leftrightarrow~~ q=sqrt[3]{dfrac{b_4}{b_1}}=sqrt[3]{dfrac{20}{2.5}}=2$

$x=b_2=b_1q=2.5cdot2=5\ y=b_3=b_2q=5cdot2=10$

6) 6; 12; .... ; 96; 102; 108; .... ;198 - последовательность чисел, кратных 6.

Посчитаем сколько таких чисел:

$a_1=6;~~ a_n=198\d=6$

$a_n=a_1+(n-1)d\ 198=6+(n-1)6\ n=33$

Сумма первых 33 членов а.п.: $S_{33}=dfrac{a_1+a_{33}}{2}cdot33=dfrac{6+198}{2}cdot33=3366$

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел превышающих 100 и меньших 200 , которые кратны 6

, значит найдем сумму не превышающих 100 и отнимем от суммы не превышающих 200

$a_1=6;~~ a_n=96\ d=6\ a_n=a_1+(n-1)d\ 96=6+6(n-1)\ n=16$

$S_{16}=dfrac{6+96}{2}cdot16=816$

Искомая сумма: $S=S_{33}-S_{16}=3366-816=2550$