Question

Помогите кто-нибудь... Пожалуйста... Если сможете...

Answer 1

$1).quad lim_{xto infty}(1-frac{2}{x})^{3x}=lim((1-frac{2}{x})^{-frac{x}{2}})^{frac{-2}{x}cdot 3x}=lim_{xto infty}e^{frac{-6x}{x}}=e^{-6}$

Правило Лопиталя: 

 $lim_{xto 1}(frac{1}{lnx}-frac{x}{x-1})=[infty-infty]=limfrac{x-1-xlnx}{(x-1)lnx}=[frac{0}{0}]=\\=lim_{xto 1}frac{1-(lnx+xcdot frac{1}{x})}{lnx+frac{x-1}{x}}=limfrac{-lnx}{lnx+1-frac{1}{x}}=limfrac{-frac{1}{x}}{frac{1}{x}+frac{1}{x^2}}=\\=frac{-1}{1+1}=-frac{1}{2}$

$2).quad y'=(frac{x^3}{e^{x}})'=frac{3x^2e^{x}+x^3e^{x}}{e^{2x}}\\y'=(ln(tgfrac{x}{2})'=frac{1}{tgfrac{x}{2}}cdot frac{1}{cos^2frac{x}{2}}cdot frac{1}{2}=frac{1}{2sinfrac{x}{2}cdot cosfrac{x}{2}}=frac{1}{sinx}\\y'=(sin^5(1-x^2))'=5sin^4(1-x^2)cdot (-2x)$

$3).quad intfrac{dx}{sin^2frac{x}{3}}=-3ctgfrac{x}{3}+C\\int 4^{cosx}cdot sinxdx=-int 4^{cosx}cdot d(cosx)=-frac{4^{cosx}}{ln4}+C\\int _1^2frac{lnx}{x}dx=int_1^2lnxcdot d(lnx)=frac{ln^2x}{2}|_1^2=frac{1}{2}(ln^22-ln^21)=frac{1}{2}ln^22$