Question

Используя прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, найдите тангенс 15 градусов.

Answer 1

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a,b$ 
Тогда гипотенуза по теореме Пифагора $c=sqrt{a^2+b^2}$ 
 Проведем с острого угла биссектрису , получим два треугольника, один из которых прямоугольный , обозначим отрезки на которые поделила биссектриса  как $x;y$    . По свойству биссектрисы  
 $frac{y}{x}=frac{sqrt{a^2+b^2}}{b}$
 По теореме синусов 
 $frac{a}{sin30}=frac{b}{sin60}\ b=asqrt{3}$ 
 Из меньшего прямоугольного треугольника надо найти соотношение 
 $tg15=frac{x}{b}$ 
$frac{y}{x} = frac{sqrt{4a^2}}{asqrt{3}}\ frac{y}{x}=frac{2}{sqrt{3}}\ y=frac{2x}{sqrt{3}}$ 
Из треугольник большего следует    
 $a=x+frac{2x}{sqrt{3}}\ a=frac{sqrt{3}x+2x}{sqrt{3}}$ 
 $x=frac{sqrt{3}a}{sqrt{3}+2}\ x=frac{sqrt{3}*frac{b}{sqrt{3}}}{sqrt{3}+2}\\ tg15=frac{x}{b}=2-sqrt{3}$