Question

два путешественника добирались из пункта А в пункт В. Первый путешественник сначала прошёл половину пути пешком, а затем вторую половину пути проехал на автобусе. Второй путешественник тоже шёл сначала пешком с такой же скоростью, как и первый путешественник, а затем тоже ехал на автобусе с такой же скоростью, как и первый путешественник. При этом оказалось, что второй путешественник шёл пешком столько же времени, сколько ехал на автобусе. Какой путешественник добрался из А в В за меньшее время? 

Answer 1

Посчитаем среднюю скорость в обоих случаях.

Средняя скорость - это всё расстояние AB, деленное на всё время.

1-ый путешественник прошел половину пути AB/2 со скоростью v км/ч пешком, а потом половину пути AB/2 со скоростью w км/ч на автобусе.

Время t1 = AB/(2v)+AB/(2w) = AB/2*(1/v+1/w) = AB/2*(v+w)/(vw) = AB(v+w)/(2vw)

Средняя скорость AB/t1 = 2vw/(v+w)

2 путешественник шел со скоростью v км/ч половину времени t2/2, а потом ехал на автобусе со скоростью w км/ч еще половину времени t2/2.

А всего он прошел AB = v*t2/2 + w*t2/2 = t2(v+w)/2

Средняя скорость AB/t2 = (v+w)/2

Чтобы сравнить эти две средние скорость, вычтем 1-ую из 2-ой.

$frac{v+w}{2} -frac{2vw}{v+w}=frac{(v+w)^2-4vw}{2(v+w)}=frac{v^2+2vw+w^2-4vw}{2(v+w)} =frac{v^2-2vw+w^2}{2(v+w)} =frac{(w-v)^2}{2(v+w)}$

Очевидно, что знаменатель положителен, и числитель тоже положителен при любых w > v.

Значит, у 2-го путешественника средняя скорость больше, и он придет раньше.