Question

из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные АВ и АС, отрезки ВС и АО пересекаются в точке D, причем OD=3, AD = $5frac{1}{3}$, найдите радиус окружности

Answer 1

проанализируем, что у нас есть

треугольник ОАС подобен треугольнику ОДС

так как  они оба прямоугольные( ВС перпендикулярно АО)

угол О общий

и они прямоугольные

тогда имеем

OD/OC=OC/OA OC=R радиус

 OC^2=OD*OA=3*8(1/3)=3*25/3=25

R^2=25

R=5

Ответ   R=5

Answer 2

1)По свойству касательных, проведённых из одной точки, AB=AC. Значит, ΔBAC - равнобедренный. Опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,

<BAD = <CAD. Из этого непосредственно вытекает, что AD - биссектриса,  проведённая к основанию, а значит и медиана. BD = CD.

2)Рассмотрю ΔBDO, <D = 90°, так как AD ещё и высота по известному факту.

Пусть BD = x, тогда по теореме Пифагора R = √9+x². Осталось только найти x.

3)Рассмотрю ΔOBA, <B = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

BD - высота ΔOBA - по доказанному выше. А высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит,

BD = √3*5+1/3 = √16 = 4. BD = x = 4

4)Теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:

BO = √9+x² = √9+16 = √25 = 5

Задача решена )