Question

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за відповідні корені рівняння х2-2х-7=0

Answer 1

1) Решим наше уравнение: 

$dispaystyle x^2-2x-7=0\D=4-4*(-7)=4+28=32\x_1= frac{2+ sqrt{32}}{2}= frac{2+4 sqrt{2}}{2}=1+2 sqrt{2}\x_2= frac{2- sqrt{32}}{2}=1-2 sqrt{2}$

2) найдем корни нового уравнения при условии что они на 3 больше

$dispaystyle x_1=1+ 2sqrt{2} +3=4+2 sqrt{2}\x_2=1-2 sqrt{2}+3=4-2 sqrt{2}$

3) теперь воспользуемся т. Виетта

$dispaystyle x^2+px+q=0\x_1+x_1=-p\x_1*x_2=q$

$dispaystyle 4+2 sqrt{2}+4-2 sqrt{2}=-p\8=-p\p=-8$

$dispaystyle (4+2 sqrt{2})*(4-2 sqrt{2})=q\4^2-(2 sqrt{2})^2=q\16-4*2=q\8=q$

тогда уравнение примет вид

$dispaystyle x^2-8x+8=0$

Answer 2

По теореме Виета сумма корней и произведение корней исходного уравнения равны:

$left { {{x_1+x_2=2} atop {x_1x_2=-7}} right.$.

Корни уравнения, которое нужно найти, на три больше:

$left { {{t_1=x_1+3} atop {t_2=x_2+3}} right. Rightarrow left { {{t_1+t_2=x_1+x_2+6=2+6=8} atop {t_1t_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1x_2+ 3(x_1+x_2)+9=-7+6+9=8}} right.$.

Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, $t_1$ и $t_2$
являются корнями уравнения

$t^2-8t+8=0$