Question

1)решите неравенство log (1-3х) по основнию 0,5 больше или равно -2 и укажите его наибольшее целочисленное решение.

2)решите неравенство log( х-4) по основанию 10 +log (х-3) по основанию 10 больше log(17-3х) по основанию 10.

Answer 1

1. $log_{ frac{1}{2} }(1-3x) geq -2$
$log_{ frac{1}{2} }(1-3x) geq -2log_{ frac{1}{2} } frac{1}{2}$
$log_{ frac{1}{2} }(1-3x) geq log_{ frac{1}{2} } frac{1}{2}^{-2}$
Найдем область допустимых значений. ОДЗ: 
$1-3x textgreater 0$
$-3x textgreater -1$
$x textless frac{1}{3}$
Так как основание логарифма меньше 1 $( frac{1}{2} textless 1)$, то исходное неравенство равносильно неравенству:
$1-3x leq frac{1}{2} ^{-2}$
$-3x leq 2^2-1$
$-3x leq 3$
$x geq -1$
Учитывая ОДЗ, получим:
x∈[-1; 1/3) 
Наибольшее целое решение: х=0
2. $log_{10}(x-4)+log_{10}(x-3) textgreater log_{10}(17-3x)$
$log_{10}(x-4)(x-3) textgreater log_{10}(17-3x)$
Найдем ОДЗ:
$x-4 textgreater 0$
$x-3 textgreater 0$
$17-3x textgreater 0$
$x textgreater 4; x textgreater 3; x textless frac{17}{3}$
x∈(4;17/3)
Так основание логарифма больше 1(10>1), то заданное неравенство равносильно неравенству:
$(x-4)(x-3) textgreater 17-3x$
$x^2-3x-4x+12-17+3x textgreater 0$
$x^{2} -4x-5 textgreater 0$
$D=16+20=36$
$x_{1} = frac{4+6}{2} =5; x_2= frac{4-6}{2}=-1$
$(x-5)(x+1) textgreater 0$
x∈(-∞;-1)∪(5;+∞)
Учитывая ОДЗ, получим: х∈(5;17/3)