Question

В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60 градусов вписан прямоугольник так,что одна из его сторон лежит на гипотенузе.Чему равна наибольшая площадь такого прямоугольника?

Answer 1

Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ = 8 см и углом А = 60 градусов, в который вписан прямоугольник КМРТ так,что одна из его сторон лежит на гипотенузе.

Примем за "х" сторону прямоугольника, перпендикулярную АВ.
Катет АС, как лежащий против угла в 30 градусов , равен половине АВ, то есть АС = 4 см.
Отрезок АК = х/(sin 60) = 2x/√3 см.
Тогда КС = АС - АК = 4 - (2x/√3) см.
Отсюда сторона КТ = 2КС = 8 - (4x/√3) см.
Площадь S прямоугольника равна:
S = x*KT = x*(8 - (4x/√3))  = 8х - (4x²/√3).
Это квадратное уравнение,  максимум его в точке
 х = -в/2а = -8/(-8/√3) = √3.
Получаем ответ: наибольшая площадь такого прямоугольника равна:
S = 8*√3- (4(√3)²/√3) = 12/√3 = 4√3 ≈  6,928203 см².