Question

при каких значениях параметра а уравнение |x+a^2|=|a+x^2| имеет 3 корня

Answer 1

Возведем уравнение в квадрат 
$(x+a^2)^2=(a+x^2)^2\ x^2+2a^2x+a^4=a^2+2ax^2+x^4\ (x-a)(x+a-1)(x^2+x+a^2+a)=0$
Получим что они имеют уже два корня $x=a\ x=1-a$ ,что бы уравнение имело три корня , необходимо что бы дискриминант третьего уравнения равнялся 0. 
$x^2+x+a^2+a=0\ D=1-4(a^2+a)=0\ a=-frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}\ a=frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}$
Ответ при $a=-frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}\ a=frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}$