Question

докажите, что выражение 4х^2+2у^2-4ху-4х+2у+3 принимает лишь положительные значения при любых значениях переменных входящих в него

Answer 1

Обратим внимание, что $(2x -y -1)^2=4x^2-2xy-2x-2xy-2xy+y^2+y -2x+y+1=\=4x^2+y^2-4xy -4x +2y+1$.
Тогда:
$4x^{2} +2y^2-4xy -4x +2y +3 = \ = (4x^2+y^2-4xy -4x +2y+ 1) +y^2+2= \ =(2x-y-1)^2+y^2+2$
Квадрат числа неотрицателен по определению. И поэтому сумма двух квадратов и двойки будет не меньше этой самой двойки.