Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=f(x),которая образует с осью x заданный угол альфа,если:
а)f(x)=(1/корень из 3)*x^3 - 3*корень из 3*x, альфа=60градусов

Answer 1

Общий вид уравнения касательной: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Вычислим производную функции:

$f'(x)=left(dfrac{1}{sqrt{3}}x^3-3sqrt{3}xright)'=dfrac{1}{sqrt{3}}cdot 3x^2-3sqrt{3}=sqrt{3}x^2-3sqrt{3}$

Используя геометрический смысл производной

                           $f'(x_0)={rm tg}alpha$

получим

$sqrt{3}x_0^2-3sqrt{3}={rm tg}60^circ\ \ sqrt{3}x_0^2-3sqrt{3}=sqrt{3}\ \ x_0^2-3=1\ x_0^2=4\ \ x_0=pm2$

Абсциссы точки касания: x0 = ±2.

Вычислим значение функций в точке х0=±2.

$f(pm 2)=dfrac{1}{sqrt{3}}cdot (pm8)pm6sqrt{3}=mpdfrac{10}{sqrt{3}}$

Определим значение производной функции в точке x0=±2

$f'(pm 2)=3sqrt{3}cdot (pm 2)^2-3sqrt{3}=sqrt{3}$

Искомые уравнения касательных:

$y=sqrt{3}(xpm2)pmdfrac{10}{sqrt{3}}$