Question

решите неравенство:

 

log (24+2x-x^2) / 14    по основанию (25-x^2)/16  больше 1

 

Плиз!!!

Answer 1

$log_{frac{25-x^{2}}{16}}( frac{24+2x-x^{2}}{14}) textgreater 1$

ОДЗ:
1) $frac{25-x^{2}}{16} textgreater 0$
$25-x^{2} textgreater 0$
$-5 textless x textless 5$
2) $frac{25-x^{2}}{16} neq 1$
$25-x^{2} neq 16$
$x^{2} neq 9$
$x neq +-3$
3) $frac{24+2x-x^{2}}{14} textgreater 0$
$24+2x-x^{2} textgreater 0$
$x^{2}-2x-24 textless 0$
$x^{2}-2x-24=0, D=4+4*24=100$
$x_{1}= frac{2-10}{2}=-4$
$x_{2}= frac{2+10}{2}=6$
$-4 textless x textless 6$
Объединяем решения пунктов 1)-3), получаем условие ОДЗ:
x∈(-4;-3)U(-3;3)U(3;5)

Решение неравенства:
$log_{frac{25-x^{2}}{16}}( frac{24+2x-x^{2}}{14}) textgreater log_{frac{25-x^{2}}{16}}(frac{25-x^{2}}{16})$

1. Если основание больше 1, то:
$frac{24+2x-x^{2}}{14} textgreater frac{25-x^{2}}{16}$
при $frac{25-x^{2}}{16} textgreater 1$
$frac{25-x^{2}-16}{16} textgreater 0$
$9-x^{2} textgreater 0$
$-3 textless x textless 3$   (*)
Решаем неравенство при получившихся х:
$8*(24+2x-x^{2}) textgreater 7*(25-x^{2})$
$192+16x-8x^{2} textgreater 175-7x^{2}$
$x^{2}-16x-17 textless 0$
$x^{2}-16x-17=0, D=324=18^{2}$
$x_{1}= frac{16-18}{2}=-1$
$x_{2}= frac{16+18}{2}=17$
$-1 textless x textless 17$
Наложим условие (*), при котором решали это неравенство, получим:
$-1 textless x textless 3$

2. Если основание логарифма лежит в пределах от 0 до 1, то:
$frac{24+2x-x^{2}}{14} textless frac{25-x^{2}}{16}$
$frac{25-x^{2}}{16} textless 1$
$frac{9-x^{2}}{16} textless 0$
$9-x^{2} textless 0$
$x textless -3$
$x textgreater 3$
Совместим с ОДЗ: x∈(-4;-3)U(3;5)  (**)
Решим неравенство при получившихся х:
$8*(24+2x-x^{2}) textless 7*(25-x^{2})$
$192+16x-8x^{2} textless 175-7x^{2}$
$x^{2}-16x-17 textgreater 0$
$x textless -1$
$x textgreater 17$
Наложим условие (**), при котором решали это неравенство, получим:
$-4 textless x textless -3$

3. Соединим оба полученных решения:
x∈(-4;-3)U(-1;3)