Question

есть ли связь между словами гражданин и патриот

Answer 1

Достойний гражданин, почти тоже что и патриот. В таком случае их можно росматревать на равных. 
Но в чистой форме гражданин=патриот, ни в коем случае не похожи по смыслу. 
Гражданин — индивид, на политико-правовой основе связанный с определенным государством, что позволяет правоспособному гражданину, по отношению к другим гражданам и обществу (государству) , иметь взаимные права, обязанности и, в их рамках, свободы. По своему правовому положению граждане конкретного государства отличаются от иностранных граждан и лиц без гражданства, находящихся на территории этого государства. 

Патриоти́зм — нравственный и политический принцип, социальное чувство, содержанием которого является любовь к Отечеству и готовность подчинить его интересам свои частные интересы.