Question

В конус объемом 36 вписан шар.найдите объем шара, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.

Answer 1

Для нахождения объема шара необходимо найти его радиус, равный радиусу окружности вписанной в равносторонний тр-к, являющийся осевым сечением шара.

Основание осевого сечения - диаметр основания конуса. Пусть он равен а.

Тогда высота конуса (высота осевого сечения):

h = (a√3)/2

Объем конуса:

V = ⅓[(πa²)/4]*(a√3)/2

По условию равен 36:

(πа³√3)/24 = 36    Отсюда выражаем а:

$a=6sqrt[3]{frac{4}{pisqrt{3}}}.$

Радиус окружности вписанной в прав. тр-к равен (1/3) его высоты:

R = (a√3)/6, тогда куб радиуса:

R³=(3a³√3)/216

Объем шара:

Vш = (4πR³)/3 = (4πa³√3)/216

Подставив ранее найденное значение а:

Vш = $frac{4pisqrt{3}a^3}{216}=frac{4pisqrt{3}}{216}*frac{216*4}{pisqrt{3}}= 16.$

Ответ:  16 (куб.ед).