Question

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45градусов. а)Найдите высоту пирамиды б)Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота пирамиды проецируется в центр основания  - в точку пересечения диагоналей.
Н - центр основания, МН - высота пирамиды, тогда АН - проекция бокового ребра МА на плоскость основания, тогда ∠МАН = 45° - угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
а) ΔМАН: ∠Н = 90°, ∠А = 45°, ⇒∠М = 45° ⇒ МН = НА = МА/√2 = 4/√2 = 2√2 см (т.к. гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами а равна а√2)
МН = 2√2 см - высота пирамиды
б) АС = 2АН = 4√2 см
CD = АС/√2 = 4 см
Пусть К - середина CD, тогда МК - медиана и высота равнобедренного треугольника CMD. МК - апофема пирамиды. СК = 2 см.
ΔМКС: ∠К = 90°, по теореме Пифагора
МК = √(МС² - СК²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см
Sбок = Росн · МК /2 = 4 · 4 · 2√3 / 2 = 16√3 см²