Question

Докажите, что форма повелительного наклонения глагола с частицей -ка используется в речи для смягчения требования ( посмотри-ка, включи-ка)

Answer 1

глаголы в повелительном наклонении выражают побуждение к действию, приказ, просьбу: иди в школу, встаньте пораньше. Глаголы в повелительном наклонении употребляются обычно в форме 2 лица, не изменяются по временам. 
Формы повелительного наклонения образуются от основы настоящего и будущего времени или будущего простого времени с помощью суффикса и или нулевого суффикса. Глаголы в повелительном наклонении в ед. ч. имеют нулевое окончание, а во множественном окончание те. Иногда к глаголам повелительного наклонения прибавляется частица -ка, которая несколько смягчает приказание: присядь-ка, подойдите-ка. 
В значении повелительного наклонения могут использоваться глаголы другого наклонения, например, изъявительного: 
для выражения приглашения собеседника совершить совместные действия (форма 1 лица множественного числа) : идём гулять! идёмте гулять! 
форма 3 лица единственного и множественного числа настоящего или будущего простого времени употребляется для выражения просьбы, пожелания в сочетании со словами пусть, да: пусть он пишет, пускай они придут. да будет свет! 
условное наклонение в значении повелительного: пошёл бы домой, ты бы отдохнул немного. 
неопределенная форма в значении повелительного наклонения для выражения резкого приказания: встать! всем идти за мной!

Answer 2

Частица -ка - произошла от наречия как-то, как-нибудь. Поэтому она и смягчает приказание: посмотри как-то, включи как-нибудь, сделай как-то.