Question

Напишіть Дано,Знайти та Розв'язання.
1.Радіуси основи конуса 4 см його висота 6 см.Знайти об'єм.
2.Осьовий переріз конуса правильний трикутник площа,якого = $4sqrt{3}$ $cm^{2}$.Знайти об'єм.
3 Осьовий переріз конуса рівнобедрений трикутник висота якого =H,а кут при вершині α.Знайти об'єм.

Answer 1

1.
$R=4 sm;\ H=6 sm;\ V=frac13cdot Scdot H;\ S=pi R^2;\ V=frac13cdot Scdot H=frac13cdotpicdot4^2cdot6(sm^3)=frac{picdot16cdot6}{3}=16cdot2cdotpi=32pi;$


2.
$S=4sqrt3;\ S=frac12cdot acdot h_a;\ h_a=sqrt{a^2-left(frac{a}{2}right)^2}=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=sqrt{frac{3a^2}{4}}=frac{sqrt3a}{2};\ S=frac12cdot acdotfrac{sqrt3a}{2}=frac{sqrt3a^2}{4};\ a^2=frac{4S}{sqrt3}; a=2sqrt{frac{S}{sqrt3}};\ R=frac a2=sqrt{frac{S}{sqrt3}};\ H=frac{sqrt3a}{2}=frac{sqrt3}{2}cdot2cdotsqrt{frac{S}{sqrt3}}=sqrt{frac{3S}{sqrt3}}=sqrt{sqrt3cdot S};$
$V=frac13cdotpicdot R^2cdot H=frac{pi}{3}cdotfrac{S}{sqrt3}cdotsqrt{sqrt3cdot S}=\ =frac{pi}{3}cdotsqrt{frac{sqrt3cdot S^3}{3}}=frac{pi}{3}cdotsqrt{frac{S^3}{sqrt3}}=frac{pi}{3}cdotsqrt{frac{(4sqrt3)^3}{sqrt3}}=frac{pi}{3}cdotsqrt{frac{4^3cdot3sqrt3}{sqrt3}}=frac{pi}{3}cdotsqrt{4^3cdot3}=\ =frac{pi}{3}cdotsqrt{(2^2)^3cdot3}=frac{pi}{3}cdotsqrt{(2^3)^2cdot3}=frac{pi}{3}cdot2^3cdotsqrt3=frac83pisqrt3;\ V=frac83pisqrt3$


3.
$H;\ alpha;\ R=Hcdot tgfracalpha2;\ V=frac13cdotpicdot R^2cdot H=frac13cdotpicdot H^2tg^2fracalpha2cdot H=\ =frac{H^3}{3}cdotpicdot tg^2fracalpha2;\ tg^2frac{alpha}{2}=frac{sin^2fracalpha2}{cos^2fracalpha2}=frac{frac{1-cosalpha}{2}}{frac{1+cosalpha}{2}}=frac{1-cosalpha}{1+cosalpha};\ V=frac{pi}{3}H^3frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}$