Question

Докажите,  что значение выражения 781*782*783*784 + 1 можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел. (Именно докажите, а не просто посчитайте)

Answer 1

Пусть $784=a$, тогда $781*782*783*784+1=a(a-1)(a-2)(a-3)+1=a^4-6a^3+11a^2-6a+1=(a^2-3a+1)^2$

Answer 2

Пусть 781 = n, тогда
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 =
= (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 = (781^2 + 3*781 + 1)^2
Таким образом мы доказали, что эта сумма есть квадрат целого числа.