Question

Докажите теорему:если в треугольнике биссектриса является медианой,то треугольник равнобедренный.

Answer 1

Обозначим треугольник АВС; ВМ -биссектриса и медиана. 

Проведем из А параллельно ВС прямую до пересечения с прямой ВМ в точке К. 

Рассмотрим треугольники АМК и ВМС. АМ=СМ (т.к. ВМ – медиана), углы этих треугольников при М равны как вертикальные, ∠ВСМ=∠КАМ как накрестлежащие при пересечении параллельных (по построению) прямых ВС и АК секущей АС. 

Следовательно, ∆ АКМ=∆ ВСМ по второму признаку равенства треугольников. ⇒

АК=ВС.

Т.к. ВМ биссектриса угла АВС, ∠АВМ=∠СВМ, а из равенства треугольников АКМ и СВМ углы при основании ВК треугольника ВАК равны – ∆ ВАК равнобедренный и АВ=АК. 

Из доказанного выше АК=ВС, следовательно, АВ=ВС.⇒ 

∆ АВС равнобедренный, что и требовалось доказать.