Question

Найдите сумму n - членов ряда ряда и бесконечную сумму 1/1*2*3 +1/2*3*4 +1/3*4*5 .....+1/n(n+1)(n+2) ответ для бесконечной суммы 1/4

Answer 1

Для начало проверим так ли это ,  по признаку сходимости .   Преобразуем 
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было 
 $frac{1!}{3!}+frac{1!}{4!}+frac{2!}{5!}+frac{3!}{6!}+frac{4!}{7!}...$
 если принять $n=0$ получим 
 $sum_{n=0}^{ infty}} frac{n!}{(n+3)!}$  По признаку  Даламбера получим то что ряд сходится . Теперь вычислим саму сумму, ряд можно представить как  
$frac{1}{2}(frac{1}{3}+frac{1}{12}+frac{1}{30}...)$ 
а в скобках это   Треугольник Лейбница и он равен  $frac{1}{2}\ S=frac{1}{2}^2=frac{1}{4}$

Запишем 
$n=1\ frac{1}{n(n+1)(n+2)} + frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\ a_{1}= frac{1}{n(n+1)(n+2)}=frac{1}{2}(frac{1}{n} - frac{2}{n+1}+frac{1}{n+2})\ a_{2}= frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+1}-frac{2}{n+2}+frac{1}{n+3})\ a_{3}= frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+2}-frac{2}{n+3}+frac{1}{n+4})$
 Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим 
 $S_{n}=frac{1}{2}(frac{1}{2}-frac{n!}{(n+2)!})$
  либо 
 $S_{n}=frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)(n+2)}$