Question

Сумма длин вписанной и описанной окружностей правильноготреугольника равна 7*Корень из 3*Пи см. Найдите периметр треугольника

Answer 1

радиус окружности, описанной около треугольника

$R = frac {a}{2sinalpha} = frac {a}{2sin 60} = frac {a}{sqrt{3}}$

радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен половине радиуса описанной окружности $r = R/2$ Т.к вписанный треугольник является описанным для треугольника, соединяющего середины высот исходного треугольника. Который в два раза меньше

 

по условию

$2pi (R+r) = 7 sqrt{3}pi$

подставляя значение R и r, имеем

$3 frac {a}{sqrt{3}} = 7 sqrt{3}$

$3 a = 21$

Искомый периметр равен 21

 

Answer 2

 а -  сторона правильного тр-ка, sqrt - это корень квадратный.

Радиус окружности, вписанной в правильный тр-к r = a/(2sqrt(3),

а радиус окружности, описанной около правильного тр-ка R = a/sqrt(3)

Длина окружностей: С оп = 2 pi  * R, С вп = 2 pi  * r/

С оп + С вп = 2 pi  * (R + r)

По условию:

2 pi  * (R + r) = 7 pi * sqrt(3)

или

2 (R + r) = 7 sqrt(3)

Подставим сюда формулы для r и R

2 (a/sqrt(3) +a/(2sqrt(3)) = 7 sqrt(3)

Приведём выражение к общему знаменателю, который равен 2 sqrt(3)

4a/2sqrt(3) +2a/2 sqrt(3) = 7 sqrt(3)* 2 sqrt(3)/7 sqrt(3)

Если у равных дробей равны знаменатели, то равны и числители:

4a +2a = 14 * 3

6a = 42

а = 7

Периметр правильного тр-ка Р = 3а = 3 * 7 = 21(см)