Question

Очень нужна помощь. Пусть х1 и х2 -корни уравнения х2(квадрат)+4х+2=0 Составить уравнение, корнями которого будут числа 4х1+х2 и х1+4х2. Если кому не трудно, то с обьяснениями. Не могу до конца вьехать в эту теорему Виета.

Answer 1

Теорема Виета:

Если х1 и х2-корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ то справедливо:

$left { {{x_1+x_2=-frac{b}{a}} atop {x_1x_2=frac{c}{a}}} right.$ 

Найдем x1 и x2, для этого решим уравнение:

$x^2+4x+2=0$ 

D=8

$x_1=frac{-4+sqrt{8}}{2}=-2-sqrt{2}$ 

$x_2=-2+sqrt{2}$ 

Составим уравнение, корнями которого будут y1 = 4x1+x2 и y2 = x1+4x2

$left { {{y_1=4(-2-sqrt{2})-2+sqrt{2}=-10-3sqrt{2}} atop {y_2=-2-sqrt{2}+4(-2+sqrt{2})=-10+3sqrt{2}}} right.$ 

По теореме Виета:

$left { {{y_1+y_2=-10-3sqrt{2}-10+3sqrt{2}=-20} atop {y_1y_2=(-10-3sqrt{2})(-10+3sqrt{2})=82}} right.$ 

$left { {{-frac{b}{a}=-20} atop {frac{c}{a}=82}} right.$ 

Пусть a = 1/2, тогда

b = 10

c = 41

Составим уравнение вида ay^2+by+c=0

$frac{1}{2}y^2+10y+41=0$  - уравнение, корнями которого яляются y1 и y2