Question

Вычислить неопределенный интеграл (с объяснением)
$intlimits^4_2 { frac{ sqrt{x^2-4} }{x^4} } , dx$

Answer 1

С начало отбросим числа 
$intlimits { frac{sqrt{x^2-4}}{x^4}} , dx \\ u=sqrt{x^2-4}\ du=frac{x}{sqrt{x^2-4}}dx\\ frac{dx}{x^4}=dv\ v= intlimits { frac{-1}{3x^3}} , dx$
 то есть наш интеграл  запишиться   
     $intlimits {udv} , dx = uv- intlimits {vdu} , dx$ это формула интегрирования по частям ,   подставим 
       $sqrt{x^2-4}*frac{-1}{3x^3}} - intlimits {frac{-1}{3x^2*sqrt{x^2-4}}}dx } = \ frac{sqrt{x^2-4}}{3x^3} + frac{sqrt{x^2-4}}{12x} + C = frac{ (x^2-4)^{frac{3}{2}}}{12x^3}$
  последний интеграл это  по таблице 
То есть $intlimits^4_2 { frac{qsrt{x^2-4}}{x^4}} , dx = frac{ (x^2-4)^{frac{3}{2}}}{12x^3}+C\ frac{ (4^2-4)^{frac{3}{2}}}{12*4^3}-frac{ (2^2-4)^{frac{3}{2}}}{12*2^3} = frac{12^{{3}{2}}}{12*64}$