Question

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v(t)=0.5sin pi t$ , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле$E= frac{mv^{2} }{2}$ , где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $5* 10^{-3}$  Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Answer 1

$Egeq5*10^-^3\\dfrac{mv^2}{2} geq5*10^-^3\\dfrac{0,08v^2}{2}geq5*10^-^3\\v^2geq 0,125\\0,25sin^2(pi t)geq 0,125\\sin^2(pi t)geq 0,5\\sin(pi t)in (-infty; -dfrac{sqrt{2} }{2}]bigcup [dfrac{sqrt{2} }{2} ; +infty)\\left[begin{array}{ccc}sin(pi t)leq -dfrac{sqrt{2} }{2} \ sin(pi t) geq dfrac{sqrt{2} }{2}\ end{array}right$$Leftrightarrow left[begin{array}{ccc} pi t inO (T. K. ttextgreater 0)\pi t in [dfrac{pi}{4}; dfrac{3pi}{4}]+2pi n, nin Z\ end{array}right Leftrightarrow t in [dfrac{1}{4}; dfrac{3}{4}]+2n, nin Z$

Значит за первую секунду E была не менее нужного значения в промежуток с 1/4 до 3/4 секунды, т. е. 3/4-1/4=2/4=1/2 (с), то есть половину секунды.

Ответ: 0,5