Question

Значение какого из выражений является числом иррациональным?   1) √3·√12   2) (√19−√6)·(√19+√6)   3) √24√6   4) √8−2√2

Answer 1

$sqrt{3}cdotsqrt{12}=sqrt{3}cdot 2cdot sqrt{3}=2cdot 3=6$

$frac{sqrt{19}-sqrt{6}}{sqrt{19}+sqrt{6}}=frac{(sqrt{19}-sqrt{6})(sqrt{19}-sqrt{6})}{(sqrt{19}+sqrt{6})(sqrt{19}-sqrt{6})}=frac{19-2sqrt{19}sqrt{6}+6}{19-6}=frac{25-2sqrt{19}sqrt{6}}{13}$

У 19 и 6 нет общих делителей, кроме 1, поэтому произведение корней будет иррациональным, а значит и вся дробь - иррациональное число. Тут я применил небольшой трюк: умножение на сопряженное выражение. Суть его такова - чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе мы умножаем числитель знаменатель дроби на $a-b$, потому что число стоит в виде $a+b$. И наоборот, если видишь в знаменателе $a-b$, то умножай все на $a+b$ - так избавляются от иррациональности и выполняют деление комплексных чисел.

Добьем остальные примеры:
$sqrt{24}sqrt{6}=sqrt{4cdot6}sqrt{6}=sqrt{4}sqrt{6}sqrt{6}=2cdot6=12$

$sqrt{8}-2sqrt{2}=sqrt{4cdot2}-2sqrt{2}=2sqrt{2}-2sqrt{2}=0$