Question

Вычислить интегралы во вложении

Answer 1

$2.;int_{-1}^2(x^2-1)^3dx=int_{-1}^2(x^6-3x^4+3x^2-1)dx=\=left.left(frac17x^7-frac35x^5+x^3-xright)right|_{-1}^2=frac17cdot2^7-frac35cdot2^5+2^3-2=\=frac{128}7-frac{96}5+8-2+frac17-frac35+1-1=frac{129}7-frac{99}5+6=\=frac{645-693+210}{35}=frac{162}{35}=4frac{22}{35}\3.;int_0^1e^{x^2}xdx=left.left(frac12e^{x^2}right)right|_0^1=frac12e^1-frac12e^0=frac12e-frac12=frac12(e-1)$
$4.;int_0^{fracpi2}sqrt{3sin x+1}cos xdx=int_0^{fracpi2}frac12cdot(3sin x+1)^frac12d(3sin x+1)=\=left.left(frac29(3sin x+1)^{frac32}right)right|_0^{fracpi2}=\=frac29cdotleft.left(3sin x+1right)^{frac32}right|_0^{fracpi2}=frac29cdotleft((3cdot1+1)^frac32-(3cdot0+1)^{frac32}right)=\=frac29cdot(sqrt[3]{16}-1)$
$5.;int_0^{fracpi2}frac{cos xdx}{2+sin x}=int_0^{fracpi2}frac{d(2+sin x)}{2+sin x}=left.ln(2+sin x)right|_0^{fracpi2}=\=ln(2+sinfracpi2)-ln(2+sin0)=ln3-ln2=lnfrac32$
$6.;int_1^4frac{xdx}{25+x^2}=int_1^4frac12cdotfrac{d(25+x^2)}{25+x^2}=frac12cdotint_1^4cdotfrac{d(25+x^2)}{25+x^2}=left.frac12cdotln(25+x^2)right|_1^4=\=frac12(ln(25+16)-ln(25+1))=frac12lnfrac{41}{26}\7.;int_0^2frac{4xdx}{(x^2-1)^3}=int_0^22cdotfrac{d(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=2cdotint_0^2frac{d(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=2cdotleft.left(-frac12cdotfrac1{(x^2-1)^2}right)right|_0^2=\=left.left(-frac1{(x^2-1)^2}right)right|_0^2=-frac1{(4-1)^2}+frac1{(0-1)^2}=1-frac19=frac89$

Answer 2

4 последняя строчка. и последний нужно разбивать на промежутки, в которых подынтегральная функция определена. у меня почему-то расходится, но я не совсем решал.