Question

сколько цифр содержит десятичная запись числа 7 корней з 20 в 14 степени?

Answer 1

$(7sqrt{20})^{14}=(sqrt{98})^{14}cdot(sqrt{10})^{14}=98^7cdot10^7$

Второй множитель просто добавляет к записи 7 нолей, рассматриваем первый множитель. 98 — "немного меньше" 100, поэтому было бы логично ожидать, что $98^7$ "немного меньше" $100^7$. В последнем числе 15 цифр, покажем, что в нужном числе 14 цифр. По сути надо доказать неравенство $98^7geqslant10^{13}$.

Оценим $98^{7}$.
Используем неравенство Бернулли: $(1+x)^ngeqslant 1+nx$, если $xgeqslant-1$.
$98^{7}=10^{14}cdot(1-0.02)^7geqslant10^{14}cdot(1-0.14) textgreater 10^{13}$

Итак, десятичная запись числа $98^7$ состоит из 14 цифр, $10^7$ добавляет ещё 7 нулей, всего получается 21 цифра.