Question

$a^{4}+b^{4} geq frac{1}{8}$
Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение)
Я пробовал решить составив систему неравенств

Answer 1

Дано, что $a+b=1$, значит $b=1-a$
Значит надо доказать, что:
$a^4+(1-a)^4 geq frac{1}{8}$
Исследуем левую часть неравенства как функцию от а:
$f(a) = a^4+(1-a)^4$
Считаем производную:
$f'(a) = 4a^3-4(1-a)^3$
Если решить уравнение $f'(a)=0$, то будет один корень а = 1/2 - это точка минимума.
Находим минимальное значение f(a):
$f( frac{1}{2}) = ( frac{1}{2} )^4+(1- frac{1}{2} )^4 = frac{1}{16} + frac{1}{16} = frac{1}{8}$
Минимальное значение функции = 1/8, значит:
$f(a) = a^4+(1-a)^4 geq frac{1}{8}$

Answer 2

Ну это уже не так важно - так как в правой части ноль, то мы можем и разделить обе части на 2, и умножить.

Answer 3

Есть еще ошибка: "разберемся со второй скобкой: (8a^3 - 4a^2) + (8a^2 + 4a) + (14a - 7) = 4a^2(2a - 1) + 4a(2a-1) +7(2a-1) =(2a-1) (4a^2 + 4a + 7)" Должно быть так: разберемся со второй скобкой: (8a^3 - 4a^2) - (8a^2 - 4a) + (14a - 7) = 4a^2(2a - 1) - 4a(2a-1) +7(2a-1) =(2a-1) (4a^2 - 4a + 7)

Answer 4

ох, точно переписывая спутал знак - (8a^2 - 4a) . Значит, от двойки необязательно избавляться, но можно, как я понял. Спасибо вам огромное за помощь, и отдельное спасибо за то, что не забили на мои вопросы, за ваше терпение! очень рад и доволен, что всё-таки разобрался с этой задачей

Answer 5

к тому же я удивлен, как вам удалось увидеть и собрать всё по формуле сокр.умножения. опыт немалый...

Answer 6

Ну тут конечно проще с помощью производной - решение и проще, и короче получается. Так что в будущем можно и так решать:)